Value at Risk et Tail Value at Risk (VaR, TVaR)
La VaR est la perte qu'on ne dépasse qu'avec une probabilité donnée ; la TVaR est la perte moyenne quand on la dépasse. La première fixe un seuil, la seconde mesure la queue.
La Value at Risk à un niveau p est le quantile p de la distribution des pertes sur un horizon donné : la perte qui n'est dépassée qu'avec une probabilité 1 − p, comme la VaR à 99,5 % à un an sur laquelle Solvabilité II calibre le SCR. La Tail Value at Risk au même niveau, ou expected shortfall, est la moyenne des pertes dans les 1 − p pires cas, donc au-delà de la VaR ; le régime suisse (SST) calibre son capital sur elle, à 99 %. Sa limite, côté VaR : deux portefeuilles de même VaR peuvent avoir des queues sans commune mesure, parce que la VaR ne regarde pas au-delà de son seuil, et elle n'est pas sous-additive, si bien qu'elle peut pénaliser une diversification. Côté TVaR, la limite est l'inverse : elle dépend tout entière des quelques scénarios extrêmes qu'on a su écrire, et en cyber, où ces scénarios sont peu observés, elle mesure autant le modèle que le risque.
Exemple, dix scénarios de perte annuelle équiprobables, en milliers d'euros, rangés : 20, 35, 50, 60, 80, 110, 150, 240, 400, 1 200. Perte moyenne : 2 345 / 10 = 234,5. VaR à 90 % : 400, la perte qui n'est dépassée que dans un cas sur dix. TVaR à 90 % : la moyenne du pire dixième, ici le seul scénario de 1 200. Si le pire scénario passe de 1 200 à 3 000, la VaR reste à 400 et la TVaR monte à 3 000 (la moyenne, à 414,5) : la VaR ne voit pas le changement qui compte le plus pour le capital.
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