Copule de Gumbel
Copule archimédienne à dépendance forte dans la queue haute et faible ailleurs. Elle convient aux risques qui ne se réalisent ensemble que lorsqu'ils sont extrêmes.
Modèle interne arrêté au 31 décembre 2025, deux portefeuilles européens, tempête et inondation : à corrélation de rang égale, Gumbel ajoute 62 M EUR au 99,5e centile face à la gaussienne. Aucune corrélation de Pearson ne décrit deux portefeuilles peu corrélés en année normale qui s'effondrent ensemble le jour de la catastrophe ; une copule le peut. La copule de Gumbel est archimédienne et dépend d'un paramètre thêta supérieur ou égal à un. À thêta égal un, les risques sont indépendants, et plus thêta croît, plus la dépendance se concentre dans la queue supérieure. Le coefficient de dépendance de queue supérieure vaut deux moins deux puissance un sur thêta, strictement positif dès que thêta dépasse un : la probabilité qu'un risque soit extrême sachant que l'autre l'est ne tend pas vers zéro. La queue inférieure est asymptotiquement indépendante. C'est le profil d'un agrégat de périls naturels ou de branches frappées par un même choc macroéconomique, d'où son usage dans les modèles internes, là où la gaussienne sous-estime systématiquement la coïncidence des extrêmes.
Agrégation de deux portefeuilles européens, tempête et inondation, dans un modèle interne arrêté au 31 décembre 2025. La corrélation de rang observée est de 0,31, ce qui donne un thêta de Gumbel de 1,45 et un coefficient de dépendance de queue supérieure de 0,39. Le 99,5e centile de l'agrégat ressort à 610 M EUR sous Gumbel contre 548 M EUR sous copule gaussienne de même corrélation de rang : 62 M EUR de capital que le choix de la famille de copule, et lui seul, ajoute.
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