Loi de Poisson composée
Loi de la charge totale d'un portefeuille obtenue en sommant un nombre aléatoire de Poisson de montants de sinistres indépendants, socle du modèle collectif et de toute simulation de charge annuelle.
Lundberg, 1903, thèse d'Uppsala : le modèle collectif sépare le nombre de sinistres de leur montant. Si le nombre suit une loi de Poisson de paramètre lambda et si les montants sont indépendants entre eux et du nombre, la charge totale suit une loi de Poisson composée. Deux résultats servent tous les jours. L'espérance de la charge vaut lambda fois le coût moyen ; sa variance, lambda fois le moment d'ordre deux des montants. La volatilité relative décroît donc en un sur racine de lambda, et c'est la loi des grands nombres de l'assureur écrite exactement. La loi elle-même n'a pas d'expression fermée : on l'obtient par la récursion de Panjer (ASTIN Bulletin, 1981), par transformée de Fourier rapide ou par simulation. Son point faible est l'hypothèse de Poisson, qui impose une variance égale à la moyenne. Dès que la fréquence est surdispersée, par contagion, cycle météorologique ou hétérogénéité du portefeuille, on passe à une binomiale négative, et la charge agrégée s'épaissit.
Portefeuille cyber PME, exercice 2026 : 4 000 polices, fréquence annuelle 1,5 %, soit lambda égal à 60 sinistres attendus, coût moyen 85 K EUR, écart-type des montants 220 K EUR. Espérance de charge 5,1 M EUR, variance égale à 60 fois (85 000 au carré plus 220 000 au carré), soit un écart-type de 1,83 M EUR et un coefficient de variation de 36 %. Avec une fréquence binomiale négative de même moyenne et de variance double, l'écart-type monte à 1,94 M EUR.
modèle collectif, collective risk model, charge agrégée, compound distribution, fréquence-sévérité agrégée
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