Modèle de Cramér-Lundberg
Modèle de référence de la théorie de la ruine, où les sinistres arrivent selon un processus de Poisson et où la probabilité de ruine décroît exponentiellement avec le capital, à condition que la queue ne soit pas trop épaisse.
Le modèle de Cramér-Lundberg décrit la réserve d'un assureur comme un capital initial, augmenté d'un flux constant de primes et diminué des sinistres. Ceux-ci arrivent selon un processus de Poisson homogène, avec des montants indépendants et de même loi. Le résultat central est la borne de Lundberg : la probabilité de ruine est majorée par une exponentielle décroissante du capital initial. Le taux de décroissance s'appelle le coefficient d'ajustement, et il est solution d'une équation où intervient la transformée de Laplace de la loi des montants. Dans ce cadre, doubler le capital ne divise donc pas la probabilité de ruine par deux, il la réduit d'un facteur exponentiel. Encore faut-il que la loi des montants ait une fonction génératrice des moments finie. Dès que les sinistres suivent une loi à queue lourde, Pareto ou log-normale, le coefficient d'ajustement n'existe plus. La probabilité de ruine ne décroît alors pas plus vite que la queue elle-même, ce qui change complètement la rentabilité marginale du capital.
Cas d'école : un portefeuille compte en moyenne 500 sinistres par an, aux montants exponentiels de moyenne 20 K EUR, et encaisse 10,5 M EUR de primes par an, soit un chargement de sécurité de 5 %. Le coefficient d'ajustement vaut 0,05 / (1,05 × 20 000), soit environ 2,38 par million. La probabilité de ruine est donc majorée par exp(moins 2,38 fois dix puissance moins six fois u), ce qui donne environ 9 % pour un capital de 1 M EUR et 0,9 % pour 2 M EUR. Sous une loi de Pareto d'indice 1,5 et de même moyenne, la même réduction demande plusieurs dizaines de millions.
processus de risque classique, coefficient d'ajustement, borne de Lundberg, classical risk process
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