Estimateur de Hill
Estimateur non paramétrique de l'indice de queue d'une loi à décroissance en puissance, calculé sur les k plus grandes observations ; son tracé en fonction de k sert de diagnostic autant que de résultat.
Bruce Hill, Annals of Statistics, 1975. Quand la queue décroît en puissance, l'estimateur de Hill mesure directement son exposant. Sa formule est la moyenne des logarithmes des k plus grandes observations, diminuée du logarithme de la (k+1)-ième, et son inverse estime l'indice de queue de la loi de Pareto sous-jacente. Aucun ajustement paramétrique n'est nécessaire et il se calcule en une ligne : c'est le premier geste d'une analyse de queue. Sa faiblesse est celle du choix de seuil, et elle se voit à l'œil. On trace l'estimateur en fonction de k. Le graphique de Hill part d'une zone très bruitée pour les petits k, traverse un plateau, puis dérive vers le bas quand k grandit et que le corps de la distribution entre dans le calcul. C'est le plateau qui donne la réponse. Un graphique de Hill sans plateau dit que la queue n'est pas en loi de puissance, et cette information vaut la valeur qu'on cherchait.
Sinistres cyber déclarés d'un portefeuille grands comptes, 2018 à 2025, 470 sinistres. Le graphique de Hill est illisible sous k égal 20, forme un plateau entre k égal 35 et k égal 70 autour de 1,7, puis descend vers 1,1. L'indice retenu est 1,7, soit une queue où la variance n'existe pas mais où la moyenne existe : un traité illimité reste tarifable, un modèle en écart-type ne l'est pas.
indice de Hill, Hill plot, estimateur de l'indice de queue, tail index estimator
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