Loi de Pareto généralisée
Loi limite des dépassements au-dessus d'un seuil élevé, dont le paramètre de forme décide si la moyenne et la variance existent, et donc si un traité illimité est finançable.
Balkema et de Haan (Annals of Probability, 1974) puis Pickands (Annals of Statistics, 1975) établissent que l'excédent au-dessus d'un seuil assez élevé suit approximativement une loi de Pareto généralisée. Elle a deux paramètres, une échelle et une forme notée xi, et la forme se lit comme un diagnostic. Négatif, la queue est bornée et il existe un sinistre maximal théorique. Nul, la queue est exponentielle et tous les moments existent. Positif, la queue est lourde, et le résultat est brutal : les moments d'ordre égal ou supérieur à un sur xi sont infinis. Avec xi égal à 0,6, la variance n'existe pas, et l'écart-type qu'un logiciel affiche sur un échantillon fini est un artefact qui grandit avec la taille de l'échantillon. À partir de xi égal à 1, la moyenne elle-même est infinie : une couverture illimitée n'a plus de prime pure finie. C'est la raison mathématique des limites de garantie sur les branches à très grande dispersion. On estime par maximum de vraisemblance sur les dépassements. La variance de l'estimateur reste grande, et le résultat se rend avec son intervalle de confiance, jamais en valeur nue.
Ajustement sur les sinistres incendie industriels supérieurs à 2 M EUR d'un portefeuille européen, période 2010 à 2025, 84 dépassements. Paramètre de forme estimé à 0,52 avec un intervalle de confiance à 95 % de 0,31 à 0,73. À l'estimation centrale, la variance n'existe pas (1 / 0,52 = 1,92, sous 2), mais la borne basse de l'intervalle, sous 0,5, la laisse finie : les données ne permettent pas de trancher. Le 99,5e centile estimé passe de 48 à 96 M EUR selon la borne retenue, basse ou haute. C'est cette fourchette qui doit remonter au comité des risques, plutôt que la valeur centrale.
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