Théorie des valeurs extrêmes
Corps de résultats qui décrit le comportement asymptotique des plus grandes observations d'un échantillon. Il sert à estimer un centile au-delà du plus gros sinistre jamais observé.
Un assureur doit chiffrer un centile à 99,5 % alors qu'il a rarement plus de vingt ans de données : la valeur cherchée se situe au-delà de tout ce qu'il a vu. Ajuster une loi sur l'ensemble des sinistres puis lire sa queue est la mauvaise réponse. L'ajustement est dominé par les milliers de petits sinistres du centre, et il ignore les cinq observations qui gouvernent la queue. La théorie des valeurs extrêmes renverse la démarche : elle ne modélise que les extrêmes, et elle dispose pour cela de deux théorèmes limites qui jouent le rôle du théorème central limite. Le premier, de Fisher-Tippett et Gnedenko, dit que le maximum d'un échantillon, correctement renormalisé, ne peut converger que vers une loi des valeurs extrêmes généralisée. Le second, de Pickands, Balkema et de Haan, dit que les dépassements d'un seuil élevé convergent vers une loi de Pareto généralisée. Un seul paramètre, l'indice de queue, résume alors le risque extrême, et son signe décide si la distribution a une limite supérieure finie ou non.
Ronald Fisher et Leonard Tippett publient le théorème des trois types en 1928, Boris Gnedenko en donne la démonstration complète en 1943, et James Pickands établit le résultat sur les dépassements de seuil en 1975. L'application la plus connue hors assurance est la révision des digues néerlandaises après la tempête de février 1953. La commission du Delta a fixé la cote de protection de la Hollande-Méridionale à une période de retour de dix mille ans. Aucun comptage sur des relevés de marée de quelques dizaines d'années ne donne un tel chiffre.
TVE, EVT, statistique des extrêmes, extreme value statistics
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