Loi binomiale négative

Greenwood et Yule montrent en 1920, dans le Journal of the Royal Statistical Society, que des nombres d'accidents individuels s'ajustent mal à la loi de Poisson et bien à un mélange, celui qui donne la loi binomiale négative. La loi de Poisson impose une variance égale à la moyenne. Les fréquences de sinistres réelles ne respectent presque jamais cette contrainte : leur variance est plus grande, c'est la surdispersion. Plusieurs causes se cumulent. Le portefeuille est hétérogène, chaque assuré ayant sa propre intensité de risque. Les sinistres arrivent par grappes, une tempête produisant cent déclarations le même jour. Et l'intensité varie d'une année sur l'autre avec la météo ou la conjoncture. Mélanger une loi de Poisson par une loi gamma sur son paramètre d'intensité donne exactement une binomiale négative, et le paramètre de la gamma mesure l'hétérogénéité. Ignorer la surdispersion sous-estime la charge agrégée dans la queue ; en modèle linéaire généralisé, elle rend aussi les écarts-types des coefficients trop petits et fait déclarer significatives des variables tarifaires qui ne le sont pas. On corrige par une binomiale négative explicite ou par un paramètre de dispersion estimé.