Backtesting de la VaR
Comparaison, période après période, des pertes réellement constatées avec la VaR annoncée, pour juger si le modèle dépasse son seuil aussi souvent, et pas plus souvent, que son niveau de confiance le promet.
Le backtesting d'une VaR compare chaque jour la perte constatée au chiffre que le modèle annonçait la veille. Chaque dépassement s'appelle une exception. À 99 % sur 250 jours ouvrés, on en attend 2,5 ; reste à savoir à partir de combien le modèle se trompe. Paul Kupiec a répondu en 1995 dans The Journal of Derivatives (« Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models ») : un test du rapport de vraisemblance sur la proportion d'exceptions, le test POF, qui suit un khi-deux à un degré de liberté, seuil de 3,84 à 5 %. Il ne compte que les exceptions : sept groupées sur une semaine de krach y passent comme sept dispersées sur l'année. Peter Christoffersen l'a corrigé en 1998 (« Evaluating interval forecasts », International Economic Review, vol. 39, n° 4) avec un test d'indépendance fondé sur une chaîne de Markov des exceptions, puis un test de couverture conditionnelle qui réunit les deux, khi-deux à deux degrés. En janvier 1996, le cadre de backtesting du Comité de Bâle range le modèle en trois zones selon le nombre d'exceptions sur 250 jours. Vert de 0 à 4, jaune de 5 à 9, rouge à partir de 10. En jaune, le multiplicateur de capital, fixé à 3, reçoit un facteur additionnel de 0,40 à 0,85 ; en rouge, il passe à 4. En assurance, l'horizon bloque. Le SCR d'un modèle interne est une VaR à 99,5 % sur un an : une exception attendue tous les deux siècles, avec une seule observation par an. L'article 124 de la directive Solvabilité II exige pourtant de confronter les résultats du modèle à l'expérience. On backteste donc des sous-modules à pas court, le risque de marché au jour ou au mois, en s'appuyant sur l'attribution des profits et pertes de l'article 123. Sur la forme de la queue au-delà du seuil, le test ne dit rien.
Cas d'école : un portefeuille de placements suivi par une VaR à 99 % à un jour, sur 250 jours, enregistre 7 exceptions. Le modèle en promettait 250 × 0,01 = 2,5. Test de Kupiec : sous l'hypothèse d'un taux de 1 %, la log-vraisemblance vaut 243 × ln(0,99) + 7 × ln(0,01) = −2,442 − 32,236 = −34,678. Au taux observé, 7 / 250 = 2,8 %, elle vaut 243 × ln(0,972) + 7 × ln(0,028) = −6,901 − 25,029 = −31,930. La statistique vaut −2 × (−34,678 + 31,930) = 5,50, au-dessus de 3,84 : on rejette le modèle au seuil de 5 %. La loi binomiale le confirme : la probabilité d'au moins 7 exceptions avec un vrai taux de 1 % est de 1 − 0,9863 = 1,4 %. Selon la grille de Bâle, 7 exceptions placent le modèle en zone jaune, facteur additionnel 0,65, et le multiplicateur passe de 3 à 3,65.
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