Élicitabilité des mesures de risque
Propriété d'une mesure de risque pour laquelle il existe une fonction de score dont l'espérance est minimisée par la vraie valeur, ce qui permet de comparer des prévisions ; la VaR l'a, l'expected shortfall seul ne l'a pas.
Une mesure de risque est élicitable s'il existe une fonction de score S(x, y), strictement cohérente, dont l'espérance est minimisée par la vraie valeur de la mesure et par elle seule : prévoir juste devient la seule façon de minimiser le score moyen. Tilmann Gneiting a fixé ce cadre dans « Making and evaluating point forecasts », Journal of the American Statistical Association, vol. 106, n° 494, 2011, p. 746-762. Moyennes, rapports de moyennes et quantiles sont élicitables. La VaR, un quantile, l'est par la perte dite pinball, S(x, y) = (1{y ≤ x} - α)(x - y). L'expected shortfall ne l'est pas, parce qu'une fonctionnelle élicitable a des ensembles de niveau convexes et que l'ES n'en a pas. Le résultat est tombé quand le Comité de Bâle préparait la revue fondamentale du portefeuille de négociation (FRTB) et le passage de la VaR à 99 % à l'ES à 97,5 % : comment valider une mesure qu'aucun score ne permet de classer ? Tobias Fissler et Johanna Ziegel ont répondu dans « Higher order elicitability and Osband's principle », Annals of Statistics, vol. 44, n° 4, 2016, p. 1680-1707 : le couple (VaR, ES) est élicitable conjointement, sous des conditions peu exigeantes, remplies en gestion des risques. Noter une prévision d'ES isolée reste impossible ; la paire, elle, se note. Le cadre de Bâle a gardé la séparation. Le capital des modèles internes se calcule sur l'ES, mais le backtesting par desk compare des VaR à un jour à 97,5 % et à 99 % ; dans la version consolidée (MAR32), un desk qui dépasse 12 exceptions à 99 % ou 30 à 97,5 % sur douze mois repasse en méthode standard. Élicitabilité et backtestabilité restent deux propriétés distinctes : Carlo Acerbi et Balázs Székely (2014) ont proposé des tests de l'ES qui se passent de fonction de score, et un comptage d'exceptions teste un modèle sans en classer deux.
Cas d'école : un desk backteste sa VaR à 99 % sur 250 jours. Si le modèle est juste, il attend 250 × 0,01 = 2,5 exceptions, et la loi binomiale donne une probabilité de 10,8 % d'en voir au moins 5 par simple hasard. Deux modèles A et B affichent la même VaR à 99 %, 10 millions d'euros, et donc les mêmes 3 exceptions, avec des pertes de 18, 22 et 25 millions. Le comptage ne les départage pas. A prévoit une ES de 14 millions, B de 20. La perte moyenne au-delà de la VaR vaut (18 + 22 + 25) / 3 = 21,67 millions, soit 21,67 / 14 = 1,55 fois la prévision de A et 21,67 / 20 = 1,08 fois celle de B. Seule une méthode qui regarde la paire (VaR, ES) voit que A sous-estime la queue.
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