Les réponses et les explications de chaque question s’affichent ici une fois le parcours terminé. Elles renvoient alors vers la fiche du glossaire correspondante, où la notion est traitée en entier avec son exemple chiffré.
1. Après les inondations de juillet 2021 dans la vallée de l'Ahr, la presse parle d'un événement centennal, et beaucoup en concluent qu'il ne se reproduira pas avant longtemps. Pour un portefeuille exposé pendant trente ans à un péril de période de retour cent ans, quelle est la probabilité de subir au moins un tel événement ?
Environ un quart, la période de retour n'étant qu'une probabilité annuelle de 1 %
La période de retour est l'inverse d'une probabilité annuelle de dépassement, et rien d'autre. Cent ans veut dire un pour cent chaque année, indépendamment de ce qui s'est produit l'année précédente. Le calcul se fait par le complément : la probabilité de traverser trente ans sans aucun événement vaut zéro virgule quatre-vingt-dix-neuf puissance trente, soit environ soixante-quatorze pour cent, donc la probabilité d'en subir au moins un approche vingt-six pour cent. Un événement dit centennal est ainsi une chose que le quart des portefeuilles exposés sur une génération rencontrera. Le contresens vient du vocabulaire lui-même, qui laisse entendre une périodicité alors qu'il décrit une fréquence, et il se propage d'autant plus facilement qu'il rassure. Deux précisions le complètent. Deux événements centennaux peuvent survenir à deux ans d'intervalle sans qu'aucune loi statistique ne soit violée. Et surtout, la définition repose sur une hypothèse de stationnarité, c'est-à-dire sur l'idée que la distribution des événements ne bouge pas dans le temps : là où le climat déplace cette distribution, la période de retour calculée sur l'historique décrit un monde qui n'est plus celui du contrat en cours.
Fiche du glossaire · periode-de-retour2. Un assureur habitation subit une année marquée par de nombreux orages de grêle, chacun d'ampleur moyenne, dont le cumul annuel atteint un niveau inhabituel sans qu'aucun événement isolé ne soit remarquable. Quelle lecture de sa courbe de dépassement rend compte de cette année ?
La courbe agrégée, l'année pesant par la somme des sinistres et non par le plus grand d'entre eux
La probabilité de dépassement est la probabilité qu'une perte franchisse un niveau donné dans l'année, et la courbe qui la représente porte la perte en abscisse et la probabilité en ordonnée. Elle se décline en deux versions qu'il est facile de confondre et coûteux de confondre. La courbe par occurrence répond à la question du plus grand sinistre de l'année : quelle probabilité que le pire événement dépasse tel montant. La courbe agrégée répond à la question de la somme : quelle probabilité que le total annuel dépasse tel montant. Les deux coïncident tant qu'une année ne compte qu'un événement significatif, et elles divergent dès que les événements se multiplient. C'est exactement la situation décrite. Une saison de grêle faite de vingt épisodes moyens peut charger lourdement la courbe agrégée sans jamais approcher, sur la courbe par occurrence, le niveau qu'atteindrait une seule tempête majeure. La conséquence est structurelle et dépasse la lecture d'un graphique : une protection déclenchée événement par événement ne voit pas une telle année, alors qu'une lecture en cumul annuel la voit entièrement. Savoir laquelle des deux courbes est citée est donc la première question à poser devant un chiffre de dépassement.
Fiche du glossaire · probabilite-de-depassement3. En 2023, les orages de grêle aux États-Unis causent à eux seuls plus de cinquante milliards de dollars de dommages économiques, davantage que les ouragans de la même année. Qu'est-ce qui rend cette famille de périls difficile à traiter avec les outils calibrés sur les cyclones et les séismes ?
Des événements nombreux, d'ampleur unitaire modérée et géographiquement dispersés, qui s'accumulent sans jamais peser isolément
Les périls dits secondaires ne portent ce nom que par contraste avec les cyclones tropicaux et les séismes, sur lesquels la modélisation catastrophe a concentré ses efforts de calibration pendant des décennies. Ils réunissent les orages convectifs sévères avec la grêle, la foudre et les tornades, les inondations locales, les feux de végétation, la neige et le verglas. Leur signature statistique est l'inverse de celle des périls primaires : moins violents pris un par un, mais bien plus fréquents, et dispersés sur des territoires étendus. Cette forme les rend malcommodes pour des instruments pensés autour d'un événement unique et massif. Un épisode de un à cinq milliards ne franchit pas un seuil haut, mais vingt épisodes de cette taille dans la même année chargent un compte annuel autant qu'un ouragan. Le mot secondaire est devenu trompeur, puisque ces périls composent désormais la majorité des événements générateurs de pertes assurées recensés dans l'année, cent quarante-deux en 2023 selon le décompte publié par Swiss Re. Deux effets se cumulent pour les tirer vers le haut : l'intensification des orages convectifs et l'allongement des saisons de feux d'un côté, et de l'autre la concentration croissante de valeurs assurées dans des zones exposées. Recalibrer les matrices de corrélation sur ces périmètres est le travail que cette bascule impose.
Fiche du glossaire · perils-secondaires4. Un analyste écarte un scénario de perte situé à cinq écarts-types de la moyenne, au motif qu'une loi normale le rend pratiquement impossible. Sur quel type de risque ce raisonnement est-il le plus dangereux ?
Ceux dont la queue est épaisse, où l'extrême est bien moins improbable que la courbe en cloche ne le suggère
Une distribution à queue épaisse est une loi dans laquelle les événements très éloignés de la moyenne ont une probabilité nettement supérieure à celle que prédirait une loi normale. La différence n'est pas une nuance de calibrage, elle change de plusieurs ordres de grandeur la probabilité assignée aux extrêmes, et le raisonnement en écarts-types perd alors tout pouvoir rassurant. Beaucoup de risques réels sont dans ce cas : catastrophes naturelles, krachs, attaques informatiques systémiques. La conséquence la plus utile à retenir concerne les outils de description eux-mêmes. Sur une queue épaisse, la moyenne et l'écart-type cessent d'être des résumés fiables, parce qu'ils sont dominés par les quelques valeurs extrêmes de l'échantillon et bougent violemment selon que la série contient ou non un très gros sinistre. Un portefeuille peut afficher dix années tranquilles et une moyenne flatteuse sans que rien de cela ne renseigne sur ce qui l'attend. C'est pourquoi on leur préfère des mesures construites sur la queue elle-même, et pourquoi Nassim Taleb a popularisé l'image de deux mondes statistiques distincts, celui où un individu ne change rien à la moyenne et celui où un seul événement domine toute la série. Le risque cyber et le risque algorithmique sont précisément soupçonnés d'appartenir au second, ce qui pèse directement sur leur assurabilité.
Fiche du glossaire · fat-tail5. Pour modéliser la sévérité des sinistres d'un portefeuille, la loi log-normale est souvent préférée à la loi normale. Quelle propriété justifie ce choix ?
Elle est asymétrique à droite et ne prend que des valeurs positives, ce qui épouse la forme réelle des sinistres
Une variable suit une loi log-normale lorsque son logarithme suit une loi normale, et cette construction simple lui donne exactement la forme que présentent les sinistres réels. Elle ne prend que des valeurs positives, ce qui est le minimum attendu d'une loi de coût, alors qu'une loi normale attribue une probabilité non nulle à des montants négatifs. Elle est asymétrique vers la droite, ce qui traduit la réalité familière d'un portefeuille : beaucoup de petits sinistres, peu de gros, mais des gros possibles et parfois très gros. Sa queue est plus épaisse que celle de la normale, donc plus réaliste sur les extrêmes, sans aller aussi loin que les lois de type puissance employées pour les queues les plus lourdes. Deux paramètres suffisent à la décrire entièrement, un paramètre d'échelle et un paramètre de forme, et les mesures de risque usuelles s'y calculent par formule plutôt que par simulation, ce qui explique une bonne part de sa popularité pratique. On la retrouve à ce titre dans les travaux de solvabilité pour les risques de souscription non-vie et dans la modélisation des pertes informatiques. Le fait qu'elle soit commode ne la rend pas vraie pour autant : ajuster une log-normale sur des données dont la queue est plus lourde qu'elle sous-estime les extrêmes, et le contrôle de cet ajustement fait partie du travail.
Fiche du glossaire · loi-log-normale6. Deux portefeuilles affichent la même perte à 99,5 % sur un an, cent millions. En allant regarder ce qui se passe au-delà de ce seuil, on trouve une perte moyenne conditionnelle de cent trente millions pour l'un et de deux cent vingt millions pour l'autre. Qu'est-ce que cet écart révèle, et quelle mesure l'a rendu visible ?
Que le seuil ne dit rien de ce qui le dépasse, et c'est la perte moyenne au-delà du seuil qui le montre
La valeur à risque indique, pour un niveau de confiance et un horizon donnés, le seuil de perte qui ne devrait être franchi qu'avec une faible probabilité, et c'est cette grandeur, à quatre-vingt-dix-neuf et demi pour cent sur un an, qui sous-tend le capital de solvabilité européen. Sa faiblesse est exactement celle que la question met en scène : elle décrit une porte et se tait sur ce qu'il y a derrière. Deux portefeuilles peuvent franchir la même porte et rencontrer, au-delà, des situations sans commune mesure. La perte moyenne conditionnelle au dépassement, appelée aussi déficit attendu, corrige ce défaut en répondant à la question qui manque : sachant que le seuil est franchi, combien perd-on en moyenne. Elle est donc toujours au moins égale au seuil et le complète plutôt qu'elle ne le remplace. Deux raisons expliquent qu'elle soit préférée sur les risques à fort potentiel catastrophique. La première tient aux queues épaisses, où l'information utile est presque entièrement au-delà du seuil. La seconde est mathématique et souvent décisive : cette mesure est sous-additive, c'est-à-dire que le risque d'un ensemble n'y dépasse jamais la somme des risques de ses parties, si bien qu'elle récompense la diversification au lieu de la pénaliser, ce que la valeur à risque ne garantit pas.
Fiche du glossaire · var-tvar7. Sur une même usine chimique, deux notes techniques avancent deux pertes maximales très différentes. L'une est tirée d'un percentile de la distribution des pertes, l'autre d'un scénario d'ingénierie de propagation d'incendie. Comment interpréter l'écart ?
Les deux conventions coexistent et ne mesurent pas la même chose, l'écart n'étant une erreur ni d'un côté ni de l'autre
La perte maximale probable estime la perte la plus élevée qu'un assureur peut subir sur un risque dans des conditions catastrophiques réalistes, en écartant les scénarios absolument extrêmes, ce qui la distingue déjà de la perte maximale possible, laquelle décrit le pire absolu sans considération de probabilité. Mais le mot recouvre en pratique deux méthodes qui ne se ramènent pas l'une à l'autre, et c'est la source ordinaire des malentendus. La convention probabiliste rattache la perte à un percentile de la distribution, par exemple le niveau à deux cent cinquante ans, et elle est de nature statistique : elle répond à une question de fréquence. La convention d'ingénierie, souvent désignée comme perte maximale estimée, construit un scénario déterministe et le chiffre : propagation réaliste d'un incendie, compartimentage, résistance des structures, efficacité des moyens de protection. Elle répond à une question physique. Rien n'oblige les deux à converger sur un site donné, et leurs écarts sont souvent instructifs. La leçon pratique est donc de traiter la perte maximale comme un langage commun entre assureurs et réassureurs, mais un langage à deux dialectes : citer un chiffre sans dire de quelle convention il sort le rend inutilisable par celui qui le reçoit.
Fiche du glossaire · pml-eml8. Un assureur regroupe un très grand nombre d'entreprises assurées contre l'interruption d'activité. Toutes hébergent leurs systèmes chez le même fournisseur de nuage informatique. Qu'advient-il du fondement mathématique de la mutualisation ?
Il cède, parce que la loi suppose des risques indépendants et que cette condition n'est plus remplie
La loi des grands nombres énonce que la moyenne observée d'un grand nombre de réalisations d'un même aléa converge vers son espérance à mesure que l'échantillon grandit. Appliquée à l'assurance, elle explique le métier tout entier : le sinistre individuel reste imprévisible, mais le coût moyen par police devient de plus en plus stable, et cette stabilité est ce qui rend une prime calculable et la mutualisation possible. La condition essentielle est presque toujours passée sous silence, et c'est elle que la question met en jeu : les risques doivent être indépendants. Des risques corrélés peuvent se réaliser ensemble, et la moyenne cesse alors de converger vers quoi que ce soit d'utile. Le nombre n'y change rien, et c'est le point contre-intuitif : ajouter des assurés à un portefeuille dont tous les membres dépendent du même point de défaillance n'apporte aucune diversification, il agrandit une exposition unique. Un portefeuille de mille entreprises hébergées chez un même fournisseur n'est pas mille risques, c'est un risque souscrit mille fois. C'est la raison de fond pour laquelle une panne de nuage informatique ou une attaque systémique menacent l'assurabilité d'une manière que ne fait aucun péril traditionnel : ils ne rendent pas les sinistres plus graves, ils les rendent simultanés.
Fiche du glossaire · loi-grands-nombres9. Frank Knight distingue en 1921 deux situations que le langage courant confond. Laquelle des deux échappe au calcul actuariel classique, et à quelle condition un aléa bascule-t-il de l'une vers l'autre ?
Celle où la distribution des probabilités est elle-même inconnaissable, faute d'historique pertinent ou parce que le phénomène change plus vite qu'on ne l'observe
La distinction posée par Frank Knight en 1921 sépare le risque, où les probabilités sont connues ou estimables, de l'incertitude, où la distribution même des résultats possibles échappe. Cette frontière est celle du métier tout entier, car l'assurance vit de transformer un aléa en risque probabilisable, au moyen d'un historique et de la loi des grands nombres. Ce qui n'a pas de base probabiliste ne se tarifie pas, non parce que le calcul serait difficile mais parce qu'il n'a pas d'objet. Trois traits font basculer un aléa du premier domaine vers le second, et il est utile de les nommer, parce qu'aucun ne tient à la taille de la perte. L'absence d'historique pertinent en est un. La non-stationnarité en est un autre, et c'est le plus discret : quand le phénomène se transforme plus vite que la donnée ne s'accumule, l'historique décrit un objet qui n'existe plus. Le troisième est l'endogénéité, quand l'environnement réagit à la couverture elle-même. Le mémoire d'AlgoPolis mobilise cette distinction pour l'intelligence artificielle agentique, dont les défaillances dépendent de modèles remis à jour en permanence, de capacités qui apparaissent sans avoir été prévues, et de menaces qui s'adaptent. Il est notable que l'obstacle décrit ne soit pas financier : un risque très lourd mais probabilisable se transfère, tandis qu'un risque modeste mais non probabilisable résiste.
Fiche du glossaire · incertitude-knightienne