Mesure de risque spectrale

Une mesure de risque spectrale pondère les quantiles d'une distribution de résultats par une fonction d'aversion au risque choisie par celui qui mesure. Carlo Acerbi l'a formalisée dans « Spectral measures of risk: a coherent representation of subjective risk aversion », Journal of Banking & Finance, vol. 26, n° 7, 2002, p. 1505-1518. Pour un résultat X, de quantile q(p) au niveau p, elle s'écrit M(X) = - ∫ φ(p) q(p) dp sur [0, 1], où φ est le spectre. Acerbi montre que M est cohérente au sens d'Artzner, Delbaen, Eber et Heath (1999) si et seulement si φ est positive, décroissante et d'intégrale égale à 1. La décroissance dit qu'un résultat pire ne pèse jamais moins qu'un résultat meilleur. L'expected shortfall au niveau α est le cas où φ vaut 1/α sur [0, α] et zéro ailleurs ; on ne regarde que la queue, et on y est neutre. La VaR correspond à une masse ponctuelle en α, qui n'a rien d'une fonction décroissante, d'où son échec sur la sous-additivité. Toute mesure spectrale est un mélange d'expected shortfalls à des niveaux différents. Le spectre exponentiel, φ(p) = k e^(-kp) / (1 - e^(-k)), revient souvent, parce qu'un seul paramètre k y règle l'aversion. Acerbi donne aussi un estimateur discret, une somme pondérée des statistiques d'ordre, qui reste cohérent à taille d'échantillon fixée. On leur reproche surtout l'arbitraire du choix de φ : deux équipes qui partent des mêmes simulations peuvent sortir des capitaux très différents selon leur spectre. En assurance, les mesures de distorsion à fonction concave, dont la transformée de Wang, sont la même famille écrite sur la fonction de survie plutôt que sur les quantiles.