Mesure de risque convexe

Une mesure de risque convexe garde deux des quatre axiomes de la cohérence, la monotonie et l'invariance par translation (ajouter un montant m de trésorerie réduit le risque de m), et remplace les deux autres, sous-additivité et homogénéité positive, par une seule condition : ρ(λX + (1 - λ)Y) ≤ λρ(X) + (1 - λ)ρ(Y) pour tout λ entre 0 et 1. Hans Föllmer et Alexander Schied l'ont introduite dans « Convex measures of risk and trading constraints », Finance and Stochastics, vol. 6, n° 4, 2002, p. 429-447 ; Marco Frittelli et Emanuela Rosazza Gianin l'ont fait de leur côté, avec une définition un peu différente, dans « Putting order in risk measures », Journal of Banking & Finance, vol. 26, n° 7, la même année. Le motif est la liquidité. L'homogénéité positive dit que doubler une position double son risque ; un trader qui doit sortir dix fois son volume habituel sait que c'est faux, l'impact de marché croît plus vite que la taille. La convexité garde de la diversification ce qui compte, mélanger deux positions ne crée pas de risque, sans imposer la proportionnalité. Toute mesure cohérente est convexe, l'inverse ne tient pas. Le théorème de représentation donne ρ(X) = sup sur Q de (E_Q[-X] - α(Q)) : on prend le pire des scénarios probabilistes Q, chacun pénalisé par une fonction α. Les mesures cohérentes sont le cas où α ne prend que les valeurs 0 et +∞, un ensemble de scénarios admis sans pénalité. L'exemple d'école est la mesure entropique, ρ(X) = (1/θ) ln E[e^(-θX)], dont la pénalité est l'entropie relative de Q par rapport à P, divisée par θ ; écrite sur une perte, c'est le principe de prime exponentielle des actuaires. La convexité a un coût pratique. L'allocation du capital par la règle d'Euler suppose l'homogénéité, et elle ne s'applique plus telle quelle : les contributions des lignes ne somment plus au total.