Transformée de Wang

La transformée de Wang déforme la fonction de survie d'un risque avant d'en prendre l'espérance. Shaun Wang l'a publiée dans « A class of distortion operators for pricing financial and insurance risks », Journal of Risk and Insurance, vol. 67, n° 1, 2000, p. 15-36. Pour une perte X de fonction de survie S(x) = P(X > x), la probabilité déformée vaut S*(x) = Φ(Φ⁻¹(S(x)) + λ), où Φ est la loi normale centrée réduite, et la prime est l'espérance sous S*, soit l'intégrale de S* sur [0, +∞) pour une perte positive. Le paramètre λ est le prix du risque. À λ = 0 on retrouve la prime pure ; plus λ monte, plus la queue gonfle. Elle appartient à la famille des mesures de distorsion, où Wang avait déjà proposé, au milieu des années 1990, la transformée à hasard proportionnel S(x)^(1/ρ). Deux propriétés l'ont fait adopter. Sur une loi normale d'écart type σ, elle rend une loi normale de moyenne décalée de λσ, soit le principe de l'écart type. Sur la loi log-normale d'un cours d'action, elle redonne Black et Scholes, ce qui rapproche la tarification de la réassurance de celle des options ; Wang rattache λ au risque systématique par le MEDAF. Pour une tranche de réassurance ou un cat bond, la conséquence se lit sur le multiple, le rapport du spread à la perte attendue : un même λ multiplie peu la perte attendue d'une tranche basse et beaucoup celle d'une tranche haute. La fonction de distorsion étant concave, la prime de Wang est aussi une mesure spectrale, donc cohérente. Antoon Pelsser (2008) a toutefois montré qu'elle ne donne pas, en général, des prix cohérents dans le temps et sans arbitrage pour un processus stochastique, le mouvement brownien géométrique mis à part.