Développement de Cornish-Fisher
Correction du quantile de la loi normale par les moments d'ordre trois et quatre, publiée par Cornish et Fisher en 1937, qui donne une VaR tenant compte de l'asymétrie et de l'aplatissement des rendements.
E. A. Cornish et R. A. Fisher publient en 1937, dans le volume 5 de la Revue de l'Institut international de statistique (numéro 4, daté de janvier 1938, p. 307 à 320), « Moments and Cumulants in the Specification of Distributions ». Il en reste une ligne : le quantile d'une distribution proche de la normale s'écrit comme le quantile normal z, corrigé par ses cumulants. À l'ordre retenu en finance, avec S l'asymétrie et K l'excès d'aplatissement, z_CF = z + (z² − 1) S / 6 + (z³ − 3z) K / 24 − (2z³ − 5z) S² / 36. Une asymétrie négative et des queues épaisses déplacent le quantile vers la perte ; la VaR se calcule ensuite comme pour une normale, avec z_CF à la place de z. Elle a plu aux régulateurs pour deux raisons : elle se calcule à la main et ne demande que quatre moments. Le règlement délégué (UE) 2017/653 en a fait la mesure du risque de marché des PRIIPs de catégorie 2 : VaR à 97,5 % sur la durée de détention recommandée, tirée des moments des rendements observés sur cinq ans, puis convertie en volatilité équivalente qui place le produit dans l'une des sept classes de l'indicateur de risque. À z = −1,96, les coefficients deviennent 0,474, −0,0687 et 0,146, ceux qu'on lit dans l'annexe II. Les actuaires savent que le développement est asymptotique. Loin de la normale, il peut produire un quantile non monotone, et il sous-estime les queues réellement épaisses, celles d'un produit à barrière ou d'une vente d'options, d'où le passage par la simulation pour la catégorie 3.
Cas d'école : un fonds de catégorie 2, durée recommandée de cinq ans, rendements mensuels de volatilité σ = 4 %, asymétrie S = −0,5, excès d'aplatissement K = 2, soit N = 60 périodes. Le facteur corrigé vaut −1,96 + 0,474 × (−0,5) / √60 − 0,0687 × 2 / 60 + 0,146 × 0,25 / 60 = −1,96 − 0,0306 − 0,0023 + 0,0006 = −1,9923. La VaR en espace des rendements vaut 0,04 × √60 × (−1,9923) − 0,5 × 0,04² × 60 = −0,6173 − 0,0480 = −0,6653. La volatilité équivalente vaut (√(3,842 + 2 × 0,6653) − 1,96) / √5 = (2,2743 − 1,96) / 2,2361 = 14,06 %, classe 4 (12 à 20 %). Sans correction, à z = −1,96, on trouve 13,86 %.
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